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F R A C T A L E S
Cuando quieres medir una línea fractal con una unidad o con un instrumento determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de tu regla o del instrumento que utilices. Además, a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento ¡la longitud de la línea aumenta también! La Dimensión Fractal nos permite medir el grado de complejidad al evaluar con qué frecuencia nuestras mediciones aumentan o disminuyen a medida que la escala que utilizamos es más larga o más corta.
Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión 1, un círculo tiene dimensión 2 y una esfera tiene dimensión 3. Para que sea coherente con lo dicho, una línea fractal tiene que tener dimensión comprendida entre 1 y 2 [no llena toda la porción de plano]. Por ejemplo, el Conjunto de Cantor no llena todo el segmento de recta y la Curva de Koch o la de Peano son más extensas que una línea. Lo mismo ocurre con los planos fractales y su extensión entre las dimensiones 2 y 3.
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:: propiedades de los fractales
Kenneth Falconer en su obra titulada Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications [1990] describe las propiedades que debería satisfacer un fractal ‘F’:
· F posee detalle a todas las escalas de observación; es decir, no tiene ninguna escala característica sino que todas las escalas son “buenas” para representarlo.
· No es posible describir F con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente
· F posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.
· La dimensión fractal de F es mayor que su dimensión topológica. [ver dimensión de Haussdorff]
· El algoritmo que sirve para describir F es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.
: autosemejanza
La medición de un objeto depende de la escala escogida para realizar la observación y en los fractales esa escala significa autosemejanza. Presentan una autosimilitud tan perfecta que sería imposible distinguir una imagen de un fractal a escala 1 que otra hecha a escala 200 ya que están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.
En general, F es una estructura autosemejante si puede ser construida como una reunión de estructuras, cada una de las cuales es una copia de F a tamaño reducido.
Para ilustrar esta propiedad se suele usar el fractal conocido como helecho de Barnsley.
Cada hoja del helecho es idéntica al helecho original. Si hiciéramos un zoom in sobre una de sus hojas veríamos que también es un helecho idéntico al original, y así infinitamente. Es decir, cada subconjunto hoja es idéntico al conjunto helecho.
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:: la curva de Koch
Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud [cada curva es 4/3 de la anterior]:
Si dimensión es 1.2618
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:: la curva de Peano
Recibe su nombre del matemático italiano Giuseppe Peano. Es una curva que, en su límite, recubre todo el plano. Tiene propiedades muy curiosas:
· Nunca pasa dos veces por el mismo punto.
· Es continua y converge uniformemente.
· La función que define la curva es inyectiva y es homeomorfa a un intervalo, sin embargo, su límite es de una dimensión superior.
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:: el conjunto triádico de Cantor
Este conjunto se considera el precursor de los fractales. Fue descrito por Georg Cantor en 1983 y posee una serie de notables propiedades métricas. Se trata de un conjunto difícil de aceptar conceptualmente porque se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible, aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de segmentos cuya longitud es distinta de cero.
Se trata de un segmento de longitud fija al que se divide en tres parte, en él se suprime el tercio de segmento central. Este procedimiento se repite en los segmentos que resultan de cada división. Como puedes ver es un procedimiento recursivo y el aspecto de un Conjunto de Cantor de nivel alto es siempre el mismo independientemente del nivel de construcción en el que se encuentre.
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:: el triángulo de Sierpinski
El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski [1882-1969]. Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa).
a=3, s=(1/2), su dimensión es 1.5850
· Cómo construir un triángulo de Sierpinski
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:: el dragón de Highway·Lévy
Esta curva, que es el borde de la imagen, fue construida alrededor de 1967 por el físico de la N.A.S.A. John E. Heighway. Heighway ilustró la construcción mediante el doblado conveniente de una hoja de papel. Su dimensión topológica es 1.
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:: Benoit Mandelbrot e IBM
Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía IBM: el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal, pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos.
Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot quien ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información: en los periodos de aparición seguida de errores [por reducido que fuera] había siempre periodos de transmisión limpia. Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia que, oh casualidad, reflejaba perfectamente ¡al conjunto de Cantor!
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido y estudiado de los conjuntos fractales en la actualidad. Se define así, en el plano complejo:
Si lta sucesión queda acotada, entonces se dice que z pertenece al conjunto de Mandelbrot , y si no, queda excluido del mismo.
En esta imagen, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge [tiende al infinito, en módulo] la sucesión: en verde oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
el conjunto de Mandelbrot a diferentes escalas
Si quieres saber más sobre fractales te sugerimos esta página increíble. Presiona aquí.
Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión 1, un círculo tiene dimensión 2 y una esfera tiene dimensión 3. Para que sea coherente con lo dicho, una línea fractal tiene que tener dimensión comprendida entre 1 y 2 [no llena toda la porción de plano]. Por ejemplo, el Conjunto de Cantor no llena todo el segmento de recta y la Curva de Koch o la de Peano son más extensas que una línea. Lo mismo ocurre con los planos fractales y su extensión entre las dimensiones 2 y 3.
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:: propiedades de los fractales
Kenneth Falconer en su obra titulada Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications [1990] describe las propiedades que debería satisfacer un fractal ‘F’:
· F posee detalle a todas las escalas de observación; es decir, no tiene ninguna escala característica sino que todas las escalas son “buenas” para representarlo.
· No es posible describir F con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente
· F posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.
· La dimensión fractal de F es mayor que su dimensión topológica. [ver dimensión de Haussdorff]
· El algoritmo que sirve para describir F es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.
: autosemejanza
La medición de un objeto depende de la escala escogida para realizar la observación y en los fractales esa escala significa autosemejanza. Presentan una autosimilitud tan perfecta que sería imposible distinguir una imagen de un fractal a escala 1 que otra hecha a escala 200 ya que están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.
En general, F es una estructura autosemejante si puede ser construida como una reunión de estructuras, cada una de las cuales es una copia de F a tamaño reducido.
Para ilustrar esta propiedad se suele usar el fractal conocido como helecho de Barnsley.
Cada hoja del helecho es idéntica al helecho original. Si hiciéramos un zoom in sobre una de sus hojas veríamos que también es un helecho idéntico al original, y así infinitamente. Es decir, cada subconjunto hoja es idéntico al conjunto helecho.
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:: la curva de Koch
Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud [cada curva es 4/3 de la anterior]:
Si dimensión es 1.2618
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:: la curva de Peano
Recibe su nombre del matemático italiano Giuseppe Peano. Es una curva que, en su límite, recubre todo el plano. Tiene propiedades muy curiosas:
· Nunca pasa dos veces por el mismo punto.
· Es continua y converge uniformemente.
· La función que define la curva es inyectiva y es homeomorfa a un intervalo, sin embargo, su límite es de una dimensión superior.
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:: el conjunto triádico de Cantor
Este conjunto se considera el precursor de los fractales. Fue descrito por Georg Cantor en 1983 y posee una serie de notables propiedades métricas. Se trata de un conjunto difícil de aceptar conceptualmente porque se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible, aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de segmentos cuya longitud es distinta de cero.
Se trata de un segmento de longitud fija al que se divide en tres parte, en él se suprime el tercio de segmento central. Este procedimiento se repite en los segmentos que resultan de cada división. Como puedes ver es un procedimiento recursivo y el aspecto de un Conjunto de Cantor de nivel alto es siempre el mismo independientemente del nivel de construcción en el que se encuentre.
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:: el triángulo de Sierpinski
El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski [1882-1969]. Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa).
a=3, s=(1/2), su dimensión es 1.5850
· Cómo construir un triángulo de Sierpinski
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:: el dragón de Highway·Lévy
Esta curva, que es el borde de la imagen, fue construida alrededor de 1967 por el físico de la N.A.S.A. John E. Heighway. Heighway ilustró la construcción mediante el doblado conveniente de una hoja de papel. Su dimensión topológica es 1.
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:: Benoit Mandelbrot e IBM
Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía IBM: el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal, pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos.
Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot quien ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información: en los periodos de aparición seguida de errores [por reducido que fuera] había siempre periodos de transmisión limpia. Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia que, oh casualidad, reflejaba perfectamente ¡al conjunto de Cantor!
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido y estudiado de los conjuntos fractales en la actualidad. Se define así, en el plano complejo:
Si lta sucesión queda acotada, entonces se dice que z pertenece al conjunto de Mandelbrot , y si no, queda excluido del mismo.
En esta imagen, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge [tiende al infinito, en módulo] la sucesión: en verde oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
el conjunto de Mandelbrot a diferentes escalas
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